私は, 読んでいて楽しかった. 英訳があるが, 海外では今も読まれているのだろうか…？新装版では組版が新しくなり, 旧版では読みにくかった字(小さい等号や「冪」(後述)などの漢字のつぶれ, 字のかすれ, 本来なら真っ直ぐの線が曲がった箇所, 印刷の都合で等号が上部または上部寄りにある形が本来と違う数式, 双１次形式の説明で〈〉を＜＞で代用している箇所など使い方に疑問があった記号)も直されている. きれいな紙面になったので, 難易度を度外視した意味で読みやすくなった. ページの見た目で敬遠されることは少なくなったはず.著者の生前の指示により加筆と訂正が行なわれ, 編集部による誤記や誤植の(まだ残りはあるが)修正もされ, 完成度が高まった.3/5頁分程度だった記号表が裏表紙から始まる2頁分に広がり, かなり印象的な, 2006年度日本数学会出版賞受賞の著者のことばが１頁分加わり, 部分空間の定義で複数の読者から指摘された不備(後述)についての, 編集部からのコメントが書き置きされている.これらが旧版と見比べてすぐに分かる, 新装版の旧版からの進化である.＊＊＊ ＊＊＊ ＊＊＊著者の通り, 読み方の説明にある通りにすれば, そして線型代数に絡めた先の数学に深入りしなれば, 予備知識としては高校(生から大学生になったばかりの1年)生でも読めるように, 本文に入る前に, 集合や論理記号を含む少しの記号とそれらの意味を説明している. これらは高校数学では重要視されていないので風化しやすい. 前の項に有る命題を引用する時は, 何頁目か付記してある.著者が飛ばしても良いという「研究課題」や線型代数それ自体を説明するには寄り道となる(きちんと区別がつくように書かれてある)話題を抜きに, 線型代数として最低限の話題に限れば, 時には思い切って証明を抜いても, 予備知識は高校数学だけを仮定して充分に理解できるように書かれていると感じる.例えば, 与えられた行列式の値を, 小さな行列式の和に分解して, 各々の値を足し合わせて, 元の行列式の値を求める「余因子展開」を創る時に, 「各 k＝1, 2, … , n に対して, 成分 x_1k を含む項は (n－1)! 個ある」という事実が群論によるから, これも初学者向けではない理由のひとつだ, と言う人が居るし, 他にも何人も居るだろう.しかし, これに限らず, 列ベクトルの線型独立性を行列式で表現する周知の定理も含めて, どの説明も, それまでの内容でも説明できる. この部分に「もとづいている事実」を書き込みで理解した写真は付けられないので, ヒントのみ残しておこう.「行列式 det(x_ij) の成分 x_ik にかけられる成分 (δ_kj)(x_kj) は (n－1)×(n－2)×…×(n－(j－1))×…×(n－(n－1))＝(n－1)! 個ある. 特に1行k列目の成分 x_1k にかけられる成分は各kに対してk行目またはk列目に(k－1)個ある. 行列式の定義により1回目は i 列の x_ki 以外ならかけられる, 2回目は既に1個かけられたと考えて, j 回目は既に x_ki 以外の j－1 個かけられたと考えて, 最後には x_ki を除いた(n－1)個をx_kiにかけられたと仮定すれば, 本文と整合性がある」高度な数学を所々に入れてあるのも, それらへ進みたくさせる効果があるからだろう.以上の理由により, 「線型代数『入門』」より「線型代数学」がふさわしい. これは数学科でさえ数学の講義の時間数が限られていた時代の事情も踏まえると不自然ではないと信じる. 「昔は『解析概論』とか『ルベーグ積分入門』しか選択肢がなかった」と言われるようになった今とは簡単に考え比べられないはずである. 今も昔も分野によれば初学者向けの本が無いことは珍しくない. 新しい分野では初学者向けの本が無いこともある.線型代数は数学の全ての分野に潜む「線型性」を抽出してできた分野だから, それを数学的に説明するなら, 抽象的で理論的になりがちな面がある.この本では数学的な理論を重視した本であるが, 理解に困らない程度に具体例も出している.線型代数としての初歩と基礎だけでも面白い語り方をしている.現代的で理論的な線型代数の本. 他の本では短く済ませることが多いことも詳しく述べていて, 幾何学(初等幾何, ユークリッド幾何, 多様体)や代数学(群論, テンソル代数の章では環と体など)や解析学(行列の指数関数, 微分, 偏微分, ヤコビアン, 微分方程式, 積分, 数列, 級数など)そして位相空間論とのつながりを感じ取れる. 広い視点から線型代数を学べる. ふたつの代数方程式が共通する解を持つ必要十分条件を述べる定理にある, それぞれの係数から成る行列式「終結式」は, 載っている本が非常に少ないが, (他の代数学の理論も含めて)多変数複素解析にも応用がある.付録に有る, 感覚的な初等幾何の線型空間論とユークリッド空間の公理系による現代数学的定式化は, この本の他には「佐武さんの本」を参考にして書かれて後の線型代数を従わせた当時最新鋭の理論を含み今も日本を支えている「線型代数入門」でしか見たことがない. 時代の流れだろうか…初等幾何により, 行列式の章で予告した通り, ２次列ベクトルの張る平行四辺形の面積はそれらのベクトルから成る行列式であり, それらのベクトルから成るグラム行列の行列式の平方根にも等しいこと, ３次列ベクトルの張る平行六面体の体積はそれらのベクトルから成る行列式であり, それらのベクトルから成るグラム行列の行列式の平方根にも等しいこと, すなわち行列式は測度(※1)を表すことを明らかにして, 理解を確かなものにしている. 測度論は使わずに済んでいる.実解析(※2)と関数解析(※3)で必須の, 双対空間と商空間の両方を取り挙げている本は少ない. 同じ本に物理学でも使われるスペクトル分解も加えてあるのは貴重である.実数を, 四則演算が問題なく可能で大小関係と四則演算が両立していて連続性を持つ体の元として, 公理的に定義しているように扱っていて, 例えば「当たり前」な馴染み深い計算法則のいくつかを, 公理系だけから証明しているのはとてもいいと思うし, それは杉浦の「解析入門Ⅰ」と同じく, 両者とも実数の性質を公理的に挙げて特徴づけをしているのは, 短く理解しやすい説明であろう. 杉浦と猪狩(の「実解析入門」)は, この特徴付けにより実数を(Ｒと同型な体はＲとして一意存在を認めて)定義して, 実数論から物語を始めている. 私はこの定義が好きである.群論の話が少し出てきて, 読む人の知的好奇心をくすぐるかもしれない. テンソル代数の章では, 線型代数の続きから始まり, 環論や体論との関連も見られる, 珍しい組み立ての代数学の本である. 体論の面白い話にも少し触れられていて, 体論に興味を持つ人が現れるかもしれない. また幾何学で重要な線型空間のテンソル積がわかりやすく解説されている.複素数の線型代数的構成も大事な内容なのだが, 最近では多くの本では省略されているのだろうか. 高校数学では「数」と「虚数単位の実数倍の意味」と「虚数単位の実数倍と実数の和」が未定義なので, それでは複素数を定義したことにはならない.単体の「数」は無定義用語であり, 2次方程式の解の公式による解法よりも, 実数解を持つ3次方程式の解が公式によれば虚数単位でも表されることから複素数は数学者を悩ませた. (「高校数学＋α 基礎と論理の物語」. )ここでは実数と線型代数だけで複素数を「作って」いる. また複素平面での複素数の性質や, 複素数を用いて初めて述べることができる, 代数方程式の可解性の定理「代数学の基本定理」も教えてくれる.線型空間の「基底」の定義について, 空間を張る必要最低限のベクトルの「番号のついた」集合を「基底」と定義するのは関数解析の立場からしても正しい. 順序を考慮するべきだから不備があるとの意見もあるのだが, 番号をつけたことは順序を付けたことを意味する. (あまり知られていないが可分な無限次元バナッハ空間にも基底の概念はある. )部分空間の定義で, その部分集合が空でないことを仮定していないのは確かに(他の本にも多くある)不備だが, この点は本書の目次に入る前に断り書きがある.この辺りでは数ベクトル空間の理論を先行して述べていて, 後に公理的な定義に入るのは読者への配慮としたそうだが, それは(難易は度外視して)うまくいっていると感じた.行列の標準化の章も, 理論的に対角化・三角化・「S＋N分解」を述べていて, 難解ではあるが詳しくて読んでいて楽しい. 特に, 行列の対角化と同値な３つの命題, 実対称行列の対角化可能性の証明は, 簡潔で分かりやすかった. 著者の数学的帰納法の使い方は上手で, 代数学の本として改題時に付け加えられたテンソル代数の章の研究課題として, 表現論の小説があるのだが, そこでも証明が短く分かりやすい. (群論で重要な「準同型定理」に, ベゾフ空間と斉次ベゾフ空間を当てはめられたので, 何かに応用できないか学んでいる. ) ２重の帰納法が使われている箇所もある. 他の本にはない説明に新鮮味があった.なお, 定理の証明で, 前の章の定理を引用しているように書かれていても理解不能な箇所は, 自分で単体で考えたほうが明快な箇所もある. 旧版の89頁・新装版の95頁 ; 旧版の92頁・新装版の98頁 ; 旧版の140頁・新装版の147頁, など. )線型性の数学の広大な理論を短く凝縮したように感じた. 微分幾何を学ぶためにも表現論を学ぶためにも必要なテンソルの, 抽象代数を仮定しない説明とその応用のために読んでも充分いいと思う. そこに双対空間と商空間がある. スペクトル分解は, その手前の対角化の章にある.＊＊＊ ＊＊＊ ＊＊＊この本で, 少なくない人が「べき集合」「ベキ級数」「分数べき微分」などを「冪集合」「冪級数」「分数冪微分」のように漢字で書く日が来てほしい. 変にカタカナや平仮名が混ざると, 数学では(ふりがなが必ずしも付けられていない) 「巾」 を(「雑巾」の「きん」ではなく) 「べき」 と読むことを知らされないと, 初学の人や解析学を学んでいる人は特に違和感を持っていくだろう. (「巾」の読み方を国語辞典で調べても「べき」は無い. )・・・ ・・・ ・・・(※1)-(※2)-(※3)ブログに詳しいことを書いておきました。読んでいただきありがとうございました。(2017年3月28日最終推敲)